永長 直人 「物性論における場の量子論」の輪講資料
誤り等は数え切れないほどたくさんあるはずなので参考程度にしてください。
Fourier解析・関数解析と変分法
初回ということで本題には入らずに、教科書の付録を拡張して関数空間と変分法の入門とした。数学的な厳密性は目指さずに、関数と無限次元のベクトルが対応すること、多変数の微分の極限で汎関数微分が(数学的にはともかくアイデアとして)考えられることを説明することを目指しました。(今見てみるとRieszの表現定理とか、Frèchet微分とGâteaux微分の違いとかは書いてないあたり、結構テキトーです)
第二量子化
このころはまだ気を使って字が多少マシなのがおもしろい。
経路積分(導入)
解析力学と量子力学(経路積分)の関係が、幾何光学と波動光学の関係に対応するというのがハイライト。正準量子化のℏ→0の説明は個人的にはかなりわかりにくいので、経路積分の最大の利点は古典論との対応がわかりやすいということかもしれません。
フェルミオン系の経路積分
フェルミオンの経路積分、教科書ではほとんど飛ばされてる... ゲージ場の経路積分については全くわかりませんでした。すみません。
南部・Goldstoneモード
南部・Goldstoneの定理は最初聞いたときは全く意味がわからず、少し勉強すると何を当たり前のことを言っているんだという気分になりますが、更に勉強すると守備範囲の広さと奥深さに気付かされます。後半のスライドではMermin-Wagnerの定理について解説しています。
電子ガスのRPA近似
Hubbard-Stratonovich変換を使って計算していきます。せっかく自分で計算したのでという理由で載せたが、何か面白い説明をしたわけでもないので載せなくてもよかったかも。おそらくいちばん重要なのはHubbard-Stratonovich場の選び方は一意ではなく、(Hubbard-Stratonovich変換自体は厳密に値を変えませんが、)その選択は後で近似をした際に結果に影響を及ぼすという点だと思っています。統計物理の教科書ではさも当然のように平均場を導入してますが、多体問題において平均場の選び方というのは複数通りあるので、「真の」平均場というのは存在しないわけです(もちろんナンセンスな選び方というのはいくらでもありますが)。(ここからは妄想ですが、)Hubbard-Stratonovich場をオーダーパラメータ(平均場)としてみると経路積分を通じてLandau理論と平均場理論の関係性がスッキリと説明できそうな気がしています(気がしているだけです)。
Berry位相と量子ホール効果におけるトポロジー
前半は教科書通りに説明して(資料は省略)、後半は量子ホール効果とトポロジーがどのように関係しているか甲元先生の原論文をもとに説明しました。トポロジカル物性の話をするときに、トポロジーの説明としてドーナツとコーヒーカップが云々という話ってトポロジカル物質とほとんど関係ないし、量子論とトポロジーの関係について真面目に書いてある本ってほとんどないですよね(大体Gauss-Bonnetの定理を持ち出して似てますねというので片付ける。)。
補足: Dirac電子系での量子ホール効果
量子ホールのときに質問されたので次の回に説明した。グラフェンの話は少し(かなり?)自分の理解が怪しい。